How to make a kurvendiskussion
für Miriam Kurvendiskussion einfach erklärt - Nachhilfe online

x ausrechnen, die verschiedenen Arten.



Kannst Du schon ableiten und beherrschst dann noch diese Techniken, dann kann Dir nix mehr passieren.

Nullstellenfinden

Bevor Du beginnst mit dem Ausrechnen solltest Du Dir zunächst die Funktion die Du diskutieren sollst genau ansehen. Wir können einige Fälle unterscheiden – dies mag Dir zunächst viel erscheinen, doch gibt es danach keine bösen Überraschungen mehr – die Herausforderung ist also überschaubar. Lies dieses Kapitel mehrmals – es ist sehr, sehr, sehr wichtig.

Wir unterscheiden also die folgenden Fälle

es ist nur ein Term mit einer Variable da

f(x)=x+3

f(x)=x²-36

x=3

x²=25

Es ist x² und x und auch ein Term mit nix da

f(x)=x²-5x+3

f(x)=1000x²-10x-1

f(x)=(10-x)²

x²-5=x

x=x²+3

f(x)=6x²-10x-2

Es gibt nur grade Exponenten

f(x)=x^4-10x²+3

f(x)=(x²-2)²

f(x)=x²(6x²-3)+2

f(x)=6x^4+5x²-3

Es gibt nur Bestandteile mit einer Variablen ( Nix mit nix)

f(x)=6x²-10x

f(x)=x(x-2)

f(x)=10x-10x²-10x³

Und sonstige Fälle

f(x)=x³-10x+2

f(x=)10x³-2x²-10x-100

METHODE UMSTELLEN-nur ein x oder x²: Ist die einfachste Art x auszurechnen. Hier kannst Du einfach umstellen. Bedenke, dass Du die Wurzel ziehen musst, wenn du x² ausrechnen möchtest. Das Ergebnis vom Wurzelziehen muss dann einmal positiv und einmal negativ angegeben werden. Auch wenn du ein x³ hast kannst du x ganz einfach ausrechnen – du musst nur die dritte Wurzel ziehen. Diese ist dann auch wieder eindeutig, d.h. Keine Plus- und Minusergebnisse müssen benannt werden.

1.BEISPIEL:

6x-10=26 //+10

6x =36 //:6

x=6

2.BEISPIEL:

25x³=675 //:25

x³=27 //³v

x=3

3.BEISPIEL:

5x²=500 //:5

x²=100 //v

x=10

x2=-10

METHODE PQ FORMEL-x² und x und eine Zahl ohne eine Variable: Hier musst Du die pq Formel anwenden.

Doch bevor du die PQ Formel verwenden kannst musst du immer darauf achten, dass nichts vor dem x² steht. Auch wenn da ein Minus stehen sollte kannst Du noch nicht gleich loslegen. Du musst es erst schaffen, dass x² ohne etwas davor dasteht. Als Eselsbrücke kann man sagen: X² muss Single sein! Du teilst einfach den gesamten (!!!) Term (also auch das vor dem x und das ohne x) durch die Zahl vor x². Ein weiterer Merksatz, um zu erkennen was p ist und was q ist: p mit x, q mit nix! (Dafür danke ich Sven S. Und Miri C.).

Eine Alternative zur PQ Formel kann auch die Arbeit mit der quadratischen Ergänzung sein – ich empfehle aber die pq Formel – einfach den Term zusammenfassen, x² Single machen, in die Formel braten und feddisch!!! Hier geht’s zur quadratischen Ergänzung. Noch ein weiterer Weg ist die Mitternachtsformel.

Also bevor man die pq Formel anwendet, sollte man x² frei gemacht haben. Um dann nicht durcheinander zu kommen notiert man noch einmal mit Vorzeichen die Werte für p und q ( p mit x, q mit nix). Um es noch weiter zu vereinfachen kann man das dann schon mal Formelgerecht aufmachen: Wir rechnen P/2 aus, und -q ( das bedeutet, dass man beim q einfach das Vorzeichen umdrehen muss). Anschließend beginnt man zu rechnen. Dann rechnet man: Beachte, man macht quasi zwei Rechnungen:

Zuerst: Minus p Halbe + die Wurzel aus ( Minus p halbe zum Quadrat minus q)

Dann: Minus p Halbe – die Wurzel aus ( Minus p Halbe zum Quadrat minus q)

Als Formel ausgedrückt:

1.BEISPIEL

x²-10x-6

p=-10

P/2=-5

-p/2=5

q=-6

-q=6

v((p/2)²-q)=v(25+6)= v36=6

x1=5+v(25+6)

x1=5+6

x1=11

x2=x1=5-v(25+6)

x2=5-v36

x2=5-6

x2=-1

2.BEISPIEL

3x²-18x-48 =0

3(x²-6x-16)=0

p=-6

p/2=-3

-q=16

x1=3+v(9+16)

x1=3+v(25)

x1=3+5

x1=8

x²-10x-6

x2=3-v(25)

x2=3-5

x2=-2

3.BEISPIEL

x²-10x

p=-10

p/2=-5

q=0

x²-10x=0

x1=5+v(25-0)

x1=5+v(25)

x1=5+5

x1=10

x2=5-v(25-0)

x2=5-v(25)

x2=5-5

x2=0

4.BEISPIEL

(x-5)²=0

x²-10x-25=0

p=-10

p/2=-5

q=-25

-q=25

x1=5+v(25+25)

x1=5+v(50)

x1=5+7,07

x1=12,07

x2=5-v(25+25)

x2=5-v(50)

x2=5-7,07

x2=-2,07

METHODE AUSKLAMMERN-Nur Zahlen mit x: Schau Dir die Funktionsgleichung ganz genau an, findest Du nur Terme mit x vor, dann kannst Du folgendes machen. x ausklammern ist eine der leichtesten Methoden zum Ausrechnen von x. Du schreibst das x mit dem niedrigsten Exponenten vor die Klammer, deren Inhalt Du nachher mit dem entsprechenden x multiplizierst. Das ausgeklammerte x ziehst Du von den Termen in der Klammer ab. So hast du dann schon ein x ausgerechnet. Es gilt immer, wenn man ein x ausklammern kann, dass x1=0 ist. Mit den Termen in der Klammer verfährst du dann einfach weiter, indem du schaust, welche Art x auszurechnen du dafür verwenden kann. Diese sind dann die nächsten Lösungen der Gleichung.

1.BEISPIEL

7x²-5x=0

x(7x-5)=0

Ein x, also x1 ist =0, bei dem letzten x was wir hier ausrechnen wollen verwenden wir die Methode umstellen.

2.BEISPIEL

7x³-25x²+x=0

x(7x²-25x+1)=0

In diesem Fall ist wieder das erste x, also x1=0, für die Klammer verwenden wir die METHODE PQ FORMEL

3.BEISPIEL

10x^5-23x³+5x=0

x(10x^4-23x²+5)=0

Hier verwenden wir in der Klammer die METHODE SUBSTITUIERE MIT Z, das x vor der Klammer gibt uns schon eine Lösung an, x1=0.

4.BEISPIEL

10x^4-23x³+5x=0

x(10x^3-23x²+5)=0

Wiederum haben wir eine Nullstelle oder eine x Koordinate gefunden, x1=0, doch um die weiteren gesuchten Punkte ausrechnen zu können müssen wir zu der METHODE X greifen, anders werden wir dem in der Klammer nicht herr.

METHODE SUBSTITUIEREN MIT Z-nur grade Exponenten sind perfekt: Hier substituierst Du x² mit z (schreibst also statt x einfach z hin, und teilst die Exponenten einfach durch 2). Bitte bedenkt, dass ihr ja ein x² durch ein z ersetzt habt, das also x²=z ist. Habt ihr jetzt zwei z s ausgerechnet, so müsst hier daraus noch die Wurzel ziehen. Warum? Na: x²=z wir wollen aber x ausrechnen, also ziehen wir die Wurzel und haben x=vz

Häufig fragt Ihr mich: „Darf ich das denn so einfach?“ - die Antwort ist klar und eindeutig – Selbstverständlich dürft Ihr das. Es ist eine Form der Umformung, die man eben so wie teilen oder multiplizieren anwenden kann, wenn sie auch weit weniger häufig gebracht wird als die anderen alt bekannten Umformungen. Doch das hier ist weit einfacher als unsere Methode X, die Ihr sonst verwenden müsstet – darum grämt Euch nicht und versucht es einfach – es ist gar nicht so schwer!

BEISPIEL 1

x^4-5x²+10 //x²=z

z²-5z+10=0

So umgeformt können wir mit der METHODE PQ Formel weiter machen und z ausrechnen. Dabei haben wir dann zwei Ergebnisse heraus – einmal mit + und einmal mit - . Ziehen wir nun wieder die Wurzel, können unter Umständen vier Ergebnisse herauskommen. Aber Achtung – haben wir eine negative Zahl für z raus, können wir daraus nicht die Wurzel ziehen!!!

BEISPIEL 2:

6x^4+18x²-36=0 //x²=z

6(z²+3z-6)=0

hier haben wir mal zwei Schritte gleichzeitig gemacht – ausgeklammert: in diesem Fall die 6 und dann noch x² durch z ersetzt. Die innere Klammer berechnen wir dann wieder einfach mit der pqFormelMethode.

MEDODE X

-geht nichts von all jenen Möglichkeiten so muss man zu anderen Mitteln greifen. Die unschöne, aber einfachste Variante ist es einfach mit Hilfe einer Wertetabelle die Nullstellen oder ähnliches zu finden. Diese Methode muss man auch anwenden, will man die Polynom Division anwenden. Hier musst Du nämlich die erste Nullstelle finden, bevor du dividieren kannst. Auch wenn wir die Methoden des Newton-Verfahrens oder des Regular-Falsi anwenden möchten sollten wir bereits eine Ahnung haben wo sich eine Nullstelle ungefähr befindet.

Zunächst probiert man es einfach mit einer Wertetabelle von -5 bis +5. Diese stellt man einfach mit dem Taschenrechner auf oder rechnet sie manuell aus. Dort wo sich die Vorzeichen umdrehen im y Bereich findet man eine Nullstelle. Kommt nach -1 bei x=1 eine 2 bei x=2, so kann man davon ausgehen, dass sich dazwischen eine Nullstelle befindet. Nun wählt man die Abstände enger, kann zum Beispiel mal ausrechnen welche Zahl bei x=1,4 x=1,5 und x=1,6herauskommt. Findet zwischen den Zahlen wieder ein Vorzeichenwechsel statt wählt man den Intervall zwischen den beiden Zahlen und setzt die Schritte wieder kleiner. So sucht man dann zwischen 1,4 und 1,5 indem man noch einmal eine Wertetabelle von 1,45 bis 1,5 und von 1,4 bis 1,45. Und so geht es immer weiter, bis man eine entsprechend niedrige Zahl hat oder eben gleich 0.

Was haben wir hier gemacht? Ja, ich gebe zu – es ist weder elegant noch komplett korrekt. Doch es ist eine Notlösung, die uns davor bewahren soll keine Lösung hinschreiben zu können. Mit diesem Weg kannst Du unter Umständen noch ein paar Teilpunkte sammeln. Stellt man sich vor, dass man eine Dartscheibe vor sich hat – so schießt man einfach irgendwo hin und dann noch mal irgendwo hin. Nun kommt jemand und erklärt Dir:“Mmh, ganz ordentliche – das Ziel liegt irgendwo dazwischen.“ Im nächsten Schritt tastest Du dich dann näher dahin und noch näher und noch näher. Der Nachteil dieser Methode liegt auf der Hand: Sie braucht viel Platz und noch mehr Zeit.

Das ist natürlich ein ganz ordentliches Gefummel. Meist ist es einfacher noch mal kurz ein Verfahren zu lernen, um dem ungenauen Herumgestochere zu entgehen – dabei wäre das Newton-Verfahren gar nicht falsch – und sogar recht einfach. Definitiv aber schneller, denn eine gute Klausurnote ist auch durch Zeitersparnis zu schaffen.

1.BEISPIEL

f(x)= 18x³-10x+3

Wertetabelle von -5 bis +5

f(-1)=-5

f(0)=3

Hier muss sich dazwischen eine Nullstelle befinden. Nun fertige ich eine weitere Wertetabelle an und suche genau die Mitte oder versuche einen weiteren Vorzeichenwechsel zu finden, bzw dem näher zu kommen:

Nullstellenfinden

f(-1)=-5

f(-0,9)=-1,122

f(-0,8)=1,784

aha – hier is er- genau zwischen -0.9 und -0,8. Gut, gut. Noch einer? Nein kein weiterer gefunden. Gut, dann legen wir wieder die Lupe an und machen uns näher auf die Suche:

Start: -0,9 End: -0,85 Step: 0,01

f(-0,89)=-0,789

f(-0,88)=-0,466

f(-0,87)=-0,153

f(-0,86)=0,1509

Wieder haben wir uns dem Vorzeichenwechsel angenähert. Nun wählen wir wiederum kleinere Schritte und nähern uns so step by step der Nullstelle.

Start: -0,875 End : -0,86 Step: 0,001

F(-0,866)=-0,03

f(-0,865)= 1,3...

Start -0,866 End: -0,865 Step: 0,0001

Die Nullstelle liegt nach unserer Schätzung und Annäherung also bei (-0,865/0).

Nullstellenfinden

ÜBUNG: Schnapp Dir die Übungsaufgaben aus unserem Beispiel: Wann hat man welche Methode verwendet? Bestimme genau – auch bei den Hoch-/Tiefpunkten und Wendepunkten

ÜBUNG: Nun nimm Dir die bereits gerechneten Aufgaben aus Deinem Heft vor – wann hat man welchen Funktionstyp vor sich und wurden immer die angegebenen Methoden angewendet? Hast Du weitere entdeckt?

ÜBUNG: Rechne die Aufgaben nach – nur so übst Du es ein die Verfahren zu erkennen und auch selbstständig anzuwenden.

ÜBUNG:Notiere Dir zunächst welche verschiedenen Typen an Funktionsgleichungen wir vorliegen haben und lösen können – füge Beispiele dazu und notiere sie auf Karteikarten.

ÜBUNG: Schreibe eine Bestimmungstafel für die Funktionsgleichungstypen, auf eine weitere Karteikarte schreibst Du die Lösungsmethoden mit Beispielen auf. Bemühe Dich um Übersicht und füge sie immer wieder in Dein Heft oder Deine Mappe ein – sie werden Dir eine wertvolle Hilfe beim Lösen der Gleichungen sein.

ÜBUNG: Stell Dir vor Du bist Nachhilfelehrerin – nimm Dir die gerechneten Aufgaben und erkläre einmal Schritt für Schritt wie man von dem einen zum nächsten Schritt kommt. Ist Dir etwas unklar? Bitte notiere die genaue Stelle und geh´damit zu Deinem Lehrer, Deiner Nachhilfe oder zu Leuten aus Deiner Klasse – wer es erklären kann der hat es auch schon gut verstanden – Du musst aber nicht zu irgendwem gehen – Du kannst auch uns fragen.

ÜBUNG: Bestimmt zu welchem Aufgabentyp die folgenden Funktionen gehören und löse sie:

f(x)=25x-100

f(x)=x³-15x²+2x+10

f(x)=x²-6x-7

f(x)=x^4-6x²-7=0

f(x)=x³-50x²-11x

ÜBUNG: Denke Dir für jeden Typen ein paar Gleichungen aus und übe sie mit den anderen aus der Nachhilfegruppe, alternativ auch alleine

ÜBUNG: Lerne nun die verschiedenen Methoden auswendig. Hast Du etwas nicht verstanden? Frag Deinen Lehrer noch mal oder uns.

ÜBUNG: Schau Dir den Fahrplan an, und schreibe bzw. male ihn ab. So erkennst Du immer ganz genau wann welche Methode her genommen werden sollte.

ÜBUNG: Definiere einmal für Dich welche Methode Du anwenden möchtest, wenn unser Fall METHODE X eintrifft. Es ist auch in Ordnung, wenn Du es mit der MethodeXWertetabelle machen möchtest -so kommst Du dem Ziel nahe und kriegst Teilpunkte. Es ist wie beim Sport: Besser man macht etwas als garnix.

ÜBUNG: Lies dieses Kapitel immer und immer wieder durch – das ist der Kern aller Kurvendiskussionen.

 
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