How to make a kurvendiskussion
für Miriam Kurvendiskussion einfach erklärt - Nachhilfe online

EXKURS PARABELN.

Ja, es tut mir leid – sie sind leider wichtig – obwohl ich sie wirklich hasse – die Parabeln

Parabeln sind die Funktionen, die für uns ein paar Sonderfälle bereit halten. In den Realschulabschlußprüfungen finden sie nun Jahr für Jahr statt und bescheren diversen Schülern eine lernintensive Zeit.

Brücke

Parabeln sind Funktionen zweiten Grades und haben dadurch auch keinen Wendepunkt. Wiso? Ist eigentlich ganz logisch: Leitet man x² als höchsten Exponenten nun einfach zwei Mal ab, dann hat man nachher kein x mehr das man berechnen kann – also auch keinen Wendepunkt. Und die dritte Ableitung, f```´ ist dann gleich Null, die Bedingung für den Wendepunkt ist somit nicht gegeben.

Bei den Parabeln sollte man die Berechnung von Nullstellen beherrschen, den Scheitelpunkt berechnen können, sowie Punkte im Koordinatensystem ablesen können. Kann man das, so ist man in dem Punkt schon mal reif für die Realschule Abschlußprüfung. Wer dann auch noch aus gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung aufstellen kann ( Siehe How to make a Kurvendiskussion RÜCKWÄRTS), der ist fantastisch aufgestellt. Als praktische Anwendung dieser Aufgaben werden den Lernenden Wasserstrahlen von Brunnen geboten, doch auch die immer wieder gern genommenen Brücken kommen in den Prüfungen nicht zu kurz.

Also einen Wendepunkt hat die Parabel schon mal nicht:

Statt dessen hat die Parabel aber manchmal Nullstellen, also schneidet von Zeit zu Zeit die x Achse. Das muss aber nicht immer der Fall sein. Zur Nullstellenberechnung brauchen wir aber nur die drei Fälle:

PQ Formel

nach x umstellen oder

ausklammern.

Das Aussehen einer Parabel abschätzen durch die Funktionsgleichung

Eine Parabel hat die Funktionsgleichung f(x)=ax²+bx+c

Unser c ist wieder (wie IMMER!!!) der Schnittpunkt mit der y Achse, der Wert von a gibt uns den Öffnungsgrad und die Öffnungsrichtung an. Man kann sich merken, dass die Parabel traurig ist, also nach unten geöffnet ist, wenn vor dem a ein Minus ist. Wenn das a positiv ist ist das wie mit mir und meinem Konto - da lacht die Parabel!

Je dichter die Schenkel der Parabel zusammen sind, desto größer ist unser a – ist es kleiner als 1, also eine 0,irgendwas Zahl – dann dehnt sie sich aus.

Der Scheitelpunkt und die quadratische Ergänzung

Schwieriger wird es aber, wenn man den Scheitelpunkt ausrechnen möchte. Hierbei kommt die quadratische Ergänzung zum Zuge. Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.

Die quadratische Ergänzung ist mit der pq Formel verwandt, darum schnappen wir uns hier wieder das p halbieren es durch 2 und quadrieren es. Das kennen wir ja schon aus der PQ Formel, da machen wir das dann ja einfach in der Formel.

Die Reihenfolge ist folgende: Funktion sortieren, x² steht alleine. Das mit x halbieren und dann quadrieren und einmal mit + und einmal mit – der Funktion ergänzen. Daher der Name: Quadratische Ergänzung ( Erst halbieren, dann quadrieren, dann ergänzen).

Nun sortieren wir durch: vom größten zum kleinsten Exponenten, unsere positive Ergänzung hängen wir hinter das x, die negative Ergänzung verrechnen wir einfach mit dem aus der Funktion.

Dann geht es ans einklammern, wir ziehen aus dem x² die Wurzel, das ist natürlich einfach x, anschließend ziehen wir aus der Quadratischen Ergänzung (positiv) die Wurzel, packen das in die Klammer und quadrieren die Klammer. Das verrechnete hängen wir einfach dahinter.

Den Scheitelpunkt können wir nun ganz einfach nur ablesen. Das Vorzeichen in der Klammer umdrehen = dann haben wir die x Koordinate des Scheitelpunkts, das dahinter gehängte verrechnete, das ist die y Koordinate.

So schwer ist es doch gar nicht.#

Anwendungen von Parabeln

Egal ob Brunnen oder der Wasserstrahl eines Brunnens, ein Tunnel oder gar die obligatorischen Brücken all diese Gebilde bieten die Grundlagen für Parabelberechnungen, -darstellungen und -aufgaben.

Nullstellen

Da es sich bei den Parabeln um Funktionen zweiten Grades handelt gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder wir verwenden die pq Formel Methode oder wir stellen nach x um – notfalls prügeln wir das auch einfach durch die quadratische Ergänzung und bekommen so die Nullstellen raus. Klar sollte sein, dass eine Parabel OFT zwei Nullstellen hat, es sei denn sie hat eine Hammerschräglage.

Wenn gar nix geht in der Arbeit

Dann macht mit Hilfe unseres Taschenrechners eine Zeichnung und lest die Punkte ab – denn die Angabe und das Lösen durch Zeichnung ist immer noch viel besser als gar keine Lösung. Achte dann darauf zu vermerken, dass die Aufgabe zeichnerisch gelöst wurde und markiere sauber Nullstellen, sowie Scheitelpunkt und alle anderen geforderten Punkte – das wird dann natürlich keine 1 werden – aber auch keine Sechs und ist somit ein adequater Notfallplan.

Aber als Bonus gibt es für Euch noch mal einen Rechner, der die quadratischen Funktionen berechnen kann für Euch:
x²:
x:
Zahl:


ÜBUNG: Beschreibe das Aussehen der folgenden Parabeln und führe anschließend eine Zeichnung durch – berechne den Scheitelpunkt, sowie die Nullstellen.

f(x)=x²-10x-9

f(x)=x²+3

f(x)=6x²-120x-21

f(x)=2x²+30x-1

f(x)=10x²-100x+9

ÜBUNG: Erkläre wie pq Formel und quadratische Ergänzung zusammen hängen

ÜBUNG: Wo findest du noch Anwendungen der quadratischen Funktionen?

ÜBUNG: Bei welchen Methoden vom x ausrechnen findest Du direkt oder indirekt quadratische Funktionen oder musst Lösungsmethoden aus dem Themenkreis anwenden?

ÜBUNG: Was ist noch mal eine Normalparabel?

ÜBUNG: Finde Beispiele aus den Aufgaben in Deinem Heft und rechne die Aufgaben nach

ÜBUNG: Erkläre anderen wie genau das mit dem Scheitelpunkt und den Nullstellen funktioniert

ÜBUNG: Finde noch andere Anwendungsbeispiele für quadratische Funktionen und schicke sie mir




 
http://howtomakeakurvendiskussion.blogspot.com/