How to make a kurvendiskussion
für Miriam Kurvendiskussion einfach erklärt - Nachhilfe online

EXKURS LINEARE FUNKTIONEN.

Funktionen ersten Grades

lin

Lineare Funktionen sind Funktionen ersten Grades, also mit einem x, welches keinen Exponenten hat. Sie haben die allgemeine Form y=mx+b, wobei man die Steigung der Funktion als m bezeichnet, den Punkt wo die Funktion die y Achse schneidet findet man unter b.

Lineare Funktionen sind Zuordnungen

Diese Funktionen ersten Grades sind auch immer Zuordnungen. Wir kennen Zuordnungen bereits aus der Schule – dort haben wir zum Beispiel mit Dreisätzen gearbeitet. Zum Beispiel kosten 2 kg Erdbeeren 5 Euro, wie teuer sind dann 3 kg? Wir rechnen 5:2 mal drei und erfahren, dass 3 kg 7,50 Euro zahlen müssen. Dies können wir auch grafisch darstellen:

kg

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Wir rechnen

2,5

5

7,5

10

12,5

15

17,5

20

y

Immer plus 2,5

Das können wir auch zeichnen: Mit den x Werten markieren wir die x Achse und gehen dann immer die entsprechenden y Schritte nach oben.

Warum sind lineare Funktionen so wichtig?

Lineare Funktionen sind wichtig, weil Sekanten oder Tangenten immer auch Funktionen sind, die als lineare Funktionen in Form einer Zeichnung, einer Funktionsgleichung oder einer Wertetabelle darstellbar sind. Auch bei Asympthoten und bei Normalen brauchen wir das Prinzip der linearen Funktion. Darum sollten wir uns bemühen das Berechnen, das Zeichnen und das Beschreiben zu lernen. Zwei Formeln sind für uns wichtig:

Die Punkt-Steigungsform und die Zwei-Punkte-Form. Abhängig davon was gegeben ist, erkennt man welche man nehmen muss.

Ist ein PUNKT und eine Steigung gegeben, so verwenden wir die Punkt-Steigungsform. Ist die Steigung nicht bekannt, aber ZWEI PUNKTE, so nimmt man die Zwei Punkte Form. Auch hier gilt wieder das Prinzip, dass eine Funktion so etwas wie eine Formel ist, ist der x Wert gegeben rechnet man den entsprechenden y Wert aus, umgekehrt ist das selbe möglich.

Positive und negative Steigung

Hat die Funktion eine negative Steigung so müssen wir, von links nach rechts gesehen, nur Bergab fahren. Ist eine positive Steigung zu verzeichnen ist dies umgekehrt – wir fahren in unserem Koordinatensystem bergauf.

Haben wir eine Gewinnfunktion, so ist dies natürlich gut, wenn sie steil bergauf geht – berechnen wir jedoch eine Kostenfunktion freuen wir uns eher über eine negative Steigung – wer hat schon gerne hohe Kosten !?!

Die Steigung gibt dann noch an wie steil eine Funktion ist. Stellen wir uns einen waagerechten Strich vor, der hat die Steigung Null. Logisch – steigt er doch gar nicht an.

Zwei-Punkte-Form

Haben wir zwei Punkte, zum Beispiel (6/8) und (9/4), so beginnen wir die Funktionsgleichung herauszufinden, indem wir die zwei Punkte Form verwenden.

Sie lautet:

m = Delta y durch Delta x oder

in unserem Fall rechnen wir (9-6)/(4-8) = 3/(-4)= -0,75. Wir haben damit eine negative Steigung für die Funktion die durch obriege Punkte geht.

Die Punkt-Steigungsform

Wollen wir dann die Funktionsgleichung herausbekommen, so müssen wir nun die Punkt – Steigungsform anwenden. Wie bereits bekannt ist hat jeder Punkt eine x und eine y Koordinate, die wir nun in unsere Formel – also in die Funktionsgleichung – einsetzen.

Da wir einen Punkt und eine Steigung haben nehmen wir also die Punkt-Steigungsform mit deren Hilfe wir unser b ausrechnen, also uns erklären können wo der Funktionsgraph die y-Achse schneidet. Haben wir zum Beispiel den Punkt P1 (4/24) und die Steigung m=3, so setzen wir diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein f(x)/y=mx+b

24=3*4+b

24=12+b

nur rechnen wir -12, damit das b allein steht und erhalten

12=b

drehen

b=12

daraus basteln wir jetzt mal die Funktionsgleichung

y=3x+12

fertig

Nun können wir unsere Funktion zeichnen, eine Wertetabelle machen und so weiter.

Wie wir sehen ist es recht einfach zu erkennen wann man welche Formel braucht. Man erkennt es schon am Namen – Punkt und Steigung gegeben oder zwei Punkte gegeben – mehr Möglichkeiten gibt es ja nicht.

ÜBUNG: Frau Hilkon produziert in einem Tag 100 Aufgaben. Grafische Darstellung und eine Tabelle und ausrechnen – für einen Monat oder ein Jahr

ÜBUNG: Miri verbraucht in zwei Monaten eine Tube Zahnpasta. Betrachte wiederum einen Zeitraum von ein Jahr

ÜBUNG: m=2 P (2/3). Funktionsgleichung?

ÜBUNG: P1(8/9) P2 (10/12). Funktionsgleichung?

ÜBUNG: Schreibe noch einmal auf wann man welche Formel nehmen sollte. Mach Dir wieder eine Karteikarte.




 
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