How to make a kurvendiskussion
für Miriam Kurvendiskussion einfach erklärt - Nachhilfe online

extremwertaufgaben.

Eine praktische Anwendung mit Geometrie



Diese Anwendungsaufgaben sind schon etwas für fortgeschrittene Rechner. Meist geht es darum, dass eine Fläche oder ein Körper oder der Umfang oder das Volumen möglichst groß bzw. möglichst klein sein soll – also minimal oder maximal. Das erinnert uns natürlich an unserer Extreme, die ja auch Minimum und Maximum genannt werden. Um diesen Aufgabentyp wuppen zu können muss man erstmal die Grundlagen beherrschen. Beginnen wir der Wiederholung von den wichtigsten Formeln und Formen

tipps

Quadrat und Rechteck Ein Quadrat hat nur gleich Ecken, daher wird die Formel für den Flächeninhalt mit A=a² und für den Umfang U=4a angegebenen, ein Rechteck hat die Formeln A=a*b und U=2a+2b

Dreieck

Kantenlänge des Dreiecks in cm
Höhe des Dreiecks in cm




Rechteck

Höhe des Rechtecks in cm
Breite des Rechtecks in cm




Trapez

Oberkante des Trapez in cm
Unterkante des Trapez in cm
Höhe des Trapez in cm




Kreis

Radius des Kreises in cm




Quader und Würfel

Sind Körper, somit haben sie ein Volumen und eine Oberfläche, die berechnet werden müssen.

Beim Würfel sind wieder alle Seiten gleich lang:

V=a³

O=a²*6

Quader

V=a*b*c

O=2ab+2bc+2ac

Zylinder

V=?*r²*Höhe des Körpers

O=4 ?r+d?*Höhe des Körpers

? ist PI also 3,14

Dann führen wir uns nochmal vor Augen wie solche Aufgaben gelöst werden können. Man beginnt immer mit der Skizze, um sich einen ersten Überblick verschaffen zu können. Weiter geht es dann mit dem Aufstellen der Bedingungen – wir haben eine Haupt – und eine Nebenbedingung. Welche welche ist, das finden wir durch die Aufgabenstellung heraus. Als Muster werden hier einige Aufgaben gelöst zu finden sein, damit Ihr das dann auf Eure Aufgaben übertragen könnt müsst ihr das aber schon verstanden haben, zumindest zum Teil. Die Hauptbedingung, das ist immer die Bedingung für die was gesucht wird, also wann schließt der Zaun einen möglichst große Fläche ein, wie wird die Oberfläche für die Dose möglichst klein, also minimal und so weiter. Ob es max oder min ist spielt dabei nur sekundär eine Rolle. Die Nebenbeding braucht ihr dann um die Hauptbedingung rauszuknobeln. Nach dem Aufsteleln der Formeln untersucht ihr die Funktionen und stellt sie um, um sie dann in die andere Funktion einzusetzen. Danach könnt ihr dann die Ergebnisse interpretieren.

Der Zaun um das Grundstück

Das ist eine häufige immer wieder heran gezogenen Aufgabe. Man hat ein Grundstück mit der Fläche A=100 m² um das ein Zaun gezogen werden soll, dessen Länge, wir sind ja geizig – möglichst minimal sein soll.

Das also beginnen wir mit einer Skizze

Dann stellen wir die Bedingungen auf.

a) Welche Formel haben wir. Da es sich um ein Rechteck handelt haben wir diese Formeln

A=a*b und U=2a+2b von denen uns die erste schon bekannt ist

100=a*b

was also unsere Hilfsbedingung ist

U=2a+2b ist unserer Hauptbedingung.

Nun stellen wir die Nebenbedingung oder auch Hilfsbedingung um, sodass wir nur eine Variable auf der einen Seite des Gleichheitszeichen haben

100/b =a

Und setzten das in unsere Formel ein, die wir aber zunächst mal umformen

U=2(a+b)

U=2(1000b+b)

Nun leiten wir die Hauptbedingung ab

U´=2(100/b²+1)

und rechnen mal aus was wir in der Klammer haben

U´=200/b²+2

-2=200/b²

-2b²=200

b²=100

b=100

anschließend berechnen wir die fehlende Größe

a=1

Und setzen es in unsere Formel ein. U=200+2=202m

Der Minimale Umfang wäre damit 202m, was aber noch durch die hinreichende Bedingung abgesichert werden müsste

ÜBUNG: Erkläre mal ( mit Skizze) wie die Formeln für das Volumen oder die Oberfläche unserer ausgewählten Körper denn so zu Stande kommt

ÜBUNG: Woran erkennt man welches die Hauptbedingung ist und was man als Nebenbedingung nehmen muss

ÜBUNG: Denk Dir einmal aus wo die Folgenden Formen vorkommen, ergo welche Sachen uns in den Textaufgaben der Klausuren so über den Weg laufen

Quadrat, Rechteck, Dreieck, Zylinder, Kugel, Würfel, Quader

ÜBUNG: Kennst Du solche Aufgaben aus Deinem Alltag?



 
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